Calcolo Esempi

$\frac{x}{1 - x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 - x^{3}$ .

$\frac{(1 - x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $1 - x^{3}$ per $1$ .

$\frac{1 - x^{3} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1 - x^{3} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 - x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1 - x^{3} - x \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1 - x^{3} - x (- \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - x^{3} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1 - x^{3} + x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1 - x^{3} + x (3 x^{2})}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - x^{3} + 3 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - x^{3} + 3 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1 - x^{3} + 3 x^{3}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $- x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$\frac{1 + 2 x^{3}}{{(1 - x^{3})}^{2}}$

Passaggio 7

Riordina i termini.

$\frac{2 x^{3} + 1}{{(- x^{3} + 1)}^{2}}$