Calcolo Esempi

$y = \sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.3

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.4

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.12

$2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.13

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.15

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.15.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.15.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.15.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 2.15.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.10

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$