Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)}$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Espandi $(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.2

Combina i termini opposti in $x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 1$ e $- 1 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + 1 x - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $1 x$ da $1 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) + 0 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3

Somma $x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2})$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x^{1}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{2 + 1} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1}$

Passaggio 1.4

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} - x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 3.3

Sposta l'esponente $3$ da ${(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{{(0 + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{{(0 - 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

Passaggio 8.1.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

Passaggio 8.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 8}{2 - 0 - 0}$

Passaggio 8.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0 - 0}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0 + 0}$

Passaggio 8.2.3

Somma $2 + 0$ e $0$ .

$\frac{- 8}{2 + 0}$

Passaggio 8.2.4

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{- 8}{2}$

Passaggio 8.3

Dividi $- 8$ per $2$ .

$- 4$