Calcolo Esempi

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{1}{x}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.3

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$

Passaggio 3.5

Espandi $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x + \frac{2}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

Passaggio 3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.6.1.1

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$2 x + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $1$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.6.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.3.3

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.3.4

Elimina il fattore comune.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.3.5

Riscrivi l'espressione.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot 2 - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.4

$\frac{- 1}{x}$ e $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1 \cdot 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Passaggio 3.6.1.7

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 3.6.1.7.1

Moltiplica $\frac{2}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.1.7.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1.7.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Passaggio 3.6.1.7.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Passaggio 3.6.1.7.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $\frac{2}{x}$ da $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 3.6.3

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$