Calcolo Esempi

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Passaggio 1

Data $y = f (θ)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ come $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \ln (θ)$ e $g (θ) = \sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.3.5

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \ln (θ)$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Passaggio 3.2.4.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Passaggio 3.2.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Passaggio 3.2.4.2

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Passaggio 3.2.4.3

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Passaggio 3.2.4.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Passaggio 3.2.4.5

Converti da $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ a $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Riordina $\cos (θ)$ e $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Riscrivi $\cos (θ) \sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.1.3

Elimina i fattori comuni.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.2

Moltiplica $\tan (θ)$ per $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.3

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.4

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Passaggio 3.2.5.2.7

Riscrivi $\cot (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 3.2.5.2.8

Combina.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.2.5.2.9

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ e $\cos^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.9.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.2.5.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.9.2.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 3.2.5.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Passaggio 3.2.5.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Converti da $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ a $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 3.2.5.3.2

Frazioni separate.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Passaggio 3.2.5.3.3

Converti da $\frac{1}{\cos (θ)}$ a $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Passaggio 3.2.5.3.4

Converti da $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 5.2.2

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 5.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Passaggio 5.3.2

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Passaggio 5.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Passaggio 5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$