Calcolo Esempi

$\int_{1}^{9} \frac{4 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{4 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Espandi $(4 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$4 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{9}$

Passaggio 9.2

Calcola $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ per $9$ e per $1$ .

$4 (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.4

Calcola l'esponente.

$4 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (6 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 (6 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.8

Sottrai $2$ da $6$ .

$4 \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.10

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.11

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.13

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.14

$\frac{2}{5}$ e $243$ .

$16 + \frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $2$ per $243$ .

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 9.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Passaggio 9.3.17

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5}$

Passaggio 9.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$16 + \frac{486 - 2}{5}$

Passaggio 9.3.19

Sottrai $2$ da $486$ .

$16 + \frac{484}{5}$

Passaggio 9.3.20

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$16 \cdot \frac{5}{5} + \frac{484}{5}$

Passaggio 9.3.21

$16$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \cdot 5}{5} + \frac{484}{5}$

Passaggio 9.3.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 \cdot 5 + 484}{5}$

Passaggio 9.3.23

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.23.1

Moltiplica $16$ per $5$ .

$\frac{80 + 484}{5}$

Passaggio 9.3.23.2

Somma $80$ e $484$ .

$\frac{564}{5}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{564}{5}$

Forma decimale:

$112.8$

Forma numero misto:

$112 \frac{4}{5}$

Passaggio 11