Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $t$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Passaggio 5.2

Poiché la funzione $t^{\frac{1}{2}}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 5.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $t^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Passaggio 5.2.3

Con $t$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Passaggio 5.3

Calcola il limite.

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Passaggio 5.3.1

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

Passaggio 5.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\infty - 2$

Passaggio 5.3.2.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\infty$