Calcolo Esempi

$x y = 2 x^{2} - x^{2} y^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} y^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x^{2} y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{3}$ .

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x - (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x - (x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x - (x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x - (x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x))$

Passaggio 3.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$4 x - (3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x))$

Passaggio 3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$4 x - (3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - (3 x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 x - 3 (x^{2} y^{2} y') - (2 y^{3} x)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x + 4 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + y = - 3 x^{2} y^{2} y' - 2 y^{3} x + 4 x$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $3 x^{2} y^{2} y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y + 3 x^{2} y^{2} y' = - 2 y^{3} x + 4 x$

Passaggio 5.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 3 x^{2} y^{2} y' = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

Passaggio 5.3

Scomponi $x y'$ da $x y' + 3 x^{2} y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x y'$ da $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + 3 x^{2} y^{2} y' = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' (3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x y'$ da $x y' \cdot 1 + x y' (3 x y^{2})$ .

$x y' (1 + 3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$

Passaggio 5.4

Dividi per $x (1 + 3 x y^{2})$ ciascun termine in $x y' (1 + 3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x (1 + 3 x y^{2})$ ciascun termine in $x y' (1 + 3 x y^{2}) = - 2 y^{3} x + 4 x - y$ .

$\frac{x y' (1 + 3 x y^{2})}{x (1 + 3 x y^{2})} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (1 + 3 x y^{2})}{x (1 + 3 x y^{2})} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + 3 x y^{2})}{1 + 3 x y^{2}} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + 3 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + 3 x y^{2})}{1 + 3 x y^{2}} = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(2) y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4 x}{x (1 + 3 x y^{2})} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{- y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{1 + 3 x y^{2}} + \frac{4}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 y^{3} + 4}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3}) + 4}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3}) + 2 (2)}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- y^{3}) + 2 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.3

Per scrivere $\frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + 3 x y^{2}) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.4.1

Moltiplica $\frac{2 (- y^{3} + 2)}{1 + 3 x y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2) x}{(1 + 3 x y^{2}) x} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.4.2

Riordina i fattori di $(1 + 3 x y^{2}) x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2) x}{x (1 + 3 x y^{2})} - \frac{y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 (- y^{3} + 2) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{(2 (- y^{3}) + 2 \cdot 2) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = \frac{(- 2 y^{3} + 2 \cdot 2) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.6.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y' = \frac{(- 2 y^{3} + 4) x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + 4 x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} x) + 4 x - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7.2

Scomponi $- 1$ da $4 x$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} x) - (- 4 x) - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{3} x) - (- 4 x)$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} x - 4 x) - y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7.4

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} x - 4 x) - (y)}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{3} x - 4 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} x - 4 x + y)}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.7.6.1

Riscrivi $- (2 y^{3} x - 4 x + y)$ come $- 1 (2 y^{3} x - 4 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 y^{3} x - 4 x + y)}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 5.4.3.7.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{3} x - 4 x + y}{x (1 + 3 x y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{3} x - 4 x + y}{x (1 + 3 x y^{2})}$