Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{\sqrt{x}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Passaggio 12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Passaggio 13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{x}}{2}}{x}$

Passaggio 14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 15.2.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $- \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 15.2.1.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 15.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.2.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 15.2.5.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.2.5.3

Semplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.3

$e^{x}$ e $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 15.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 15.5

Combina.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 15.6

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 15.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 15.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 15.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 15.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 15.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 15.6.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 15.7

Moltiplica $e^{x} (2 x - 1)$ per $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$