Calcolo Esempi

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x) + \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 5.2

Espandi $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Passaggio 5.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $2 \cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 5.3.1.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 5.3.1.4

Riordina $2 \cos (x)$ e $- \sin (x)$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 5.3.1.5

Aggiungi le parentesi.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Passaggio 5.3.1.6

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Passaggio 5.3.1.7

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $\sin (2 x)$ da $\sin (2 x)$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 5.3.3

Sottrai $2 \sin^{2} (x)$ da $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$