Calcolo Esempi

$3 \sqrt[4]{x} + 2 y^{\frac{2}{3}} = 75$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$3 x^{\frac{1}{4}} + 2 y^{\frac{2}{3}} = 75$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 x^{\frac{1}{4}} + 2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (75)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{1}{4}} + 2 y^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.8

$\frac{1}{4}$ e $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.9

$3$ e $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2.10

Sposta $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y^{\frac{2}{3}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y')$

Passaggio 3.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Passaggio 3.3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Passaggio 3.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Passaggio 3.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y')$

Passaggio 3.3.7.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y')$

Passaggio 3.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y')$

Passaggio 3.3.9

$\frac{2}{3}$ e $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 (\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y')$

Passaggio 3.3.10

$\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 3.3.11

Sposta $y^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + 2 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.3.12

$2$ e $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{2 (2 y')}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $75$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Sottrai $\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $\frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

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Passaggio 6.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{4 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y' = - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.2.1

Semplifica $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $- \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 y' = - 3 \frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

$- 3$ e $\frac{3}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$4 y' = \frac{- 3 \cdot 3}{4 x^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$4 y' = \frac{- 9}{4 x^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3.2.1.1.4

$\frac{- 9}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ e $y^{\frac{1}{3}}$ .

$4 y' = \frac{- 9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 6.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ e semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}}{4}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y'}{4} = \frac{- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}}{4}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}}{4}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 6.4.3.2

Moltiplica $- \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{4 (4 x^{\frac{3}{4}})}$

Passaggio 6.4.3.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y' = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{16 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 y^{\frac{1}{3}}}{16 x^{\frac{3}{4}}}$