Calcolo Esempi

$f (x) = 3 (x - 9) (x - 6)$

Passaggio 1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (3 x + 3 \cdot - 9) (x - 6)$

Passaggio 1.2

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$f (x) = (3 x - 27) (x - 6)$

Passaggio 2

Espandi $(3 x - 27) (x - 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 x (x - 6) - 27 (x - 6)$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 27 (x - 6)$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f (x) = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x - 27 x - 27 \cdot - 6$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- 27$ per $- 6$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x - 27 x + 162$

Passaggio 3.2

Sottrai $27 x$ da $- 18 x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 45 x + 162$

Passaggio 4

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 5

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 45}{2 (3)}$

Passaggio 5.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{- 45}{2 (3)}$

Passaggio 5.3

Semplifica $- \frac{- 45}{2 (3)}$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $- 45$ e $3$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 45$ .

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{- 15}{2}$

Passaggio 5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - - \frac{15}{2}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- - \frac{15}{2}$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $\frac{15}{2}$ per $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Passaggio 6

Calcola $f (\frac{15}{2})$ .

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{15}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{15}{2}) = 3 {(\frac{15}{2})}^{2} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{225}{2^{2}}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{225}{4}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $3 (\frac{225}{4})$ .

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Passaggio 6.2.1.4.1

$3$ e $\frac{225}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{3 \cdot 225}{4} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Passaggio 6.2.1.4.2

Moltiplica $3$ per $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 45 (\frac{15}{2})$ .

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Passaggio 6.2.1.5.1

$- 45$ e $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} + \frac{- 45 \cdot 15}{2} + 162$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $- 45$ per $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} + \frac{- 675}{2} + 162$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675}{2} + 162$

Passaggio 6.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $\frac{675}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - (\frac{675}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 162$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{675}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 162$

Passaggio 6.2.2.3

Scrivi $162$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162}{1}$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $\frac{162}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $\frac{162}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 675 \cdot 2 + 162 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 675$ per $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 1350 + 162 \cdot 4}{4}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $162$ per $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 1350 + 648}{4}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.5.1

Sottrai $1350$ da $675$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 675 + 648}{4}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $- 675$ e $648$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 27}{4}$

Passaggio 6.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{15}{2}) = - \frac{27}{4}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $- \frac{27}{4}$ .

$- \frac{27}{4}$

Passaggio 7

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(\frac{15}{2}, - \frac{27}{4})$

Passaggio 8