Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Passaggio 1

Verifica se $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 2]$ o no, trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{4 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 x = 0$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 1.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 1.2

$f (x)$ è continua su $[1, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.1.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 2.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Passaggio 2.1.1.3.4

$\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Passaggio 2.1.1.3.5

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Definisci se la derivata è continua su $[1, 2]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[1, 2]$ o no, trova il dominio di $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{4 x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 0$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Passaggio 2.2.1.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.1.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.2.1.2.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2.2.2

$f' (x)$ è continua su $[1, 2]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2.3

La funzione è differenziabile su $[1, 2]$ perché la derivata è continua su $[1, 2]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 3

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso $[1, 2]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso $[1, 2]$ .

Passaggio 4

Trova la derivata di $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Passaggio 4.3.4

$\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Passaggio 4.3.5

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 5

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Passaggio 6

Calcola l'integrale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 6.3

Moltiplica $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4.1.3

Somma $- 2$ e $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Passaggio 6.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Passaggio 6.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Passaggio 6.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Passaggio 6.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Passaggio 6.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 6.10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 6.10.2

Calcola $- x^{- 1}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.5

$4$ e $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.6

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 6.10.3.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Passaggio 6.10.3.9

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Passaggio 6.10.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Passaggio 6.10.3.11

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Passaggio 6.10.3.12

Per scrivere $\frac{28}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Passaggio 6.10.3.13

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 6.10.3.14

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.3.14.1

Moltiplica $\frac{28}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 6.10.3.14.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 6.10.3.14.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Passaggio 6.10.3.14.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Passaggio 6.10.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Passaggio 6.10.3.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.3.16.1

Moltiplica $28$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Passaggio 6.10.3.16.2

Somma $56$ e $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Passaggio 6.10.3.17

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Passaggio 6.10.3.18

Moltiplica $4$ per $6$ .

$\frac{59}{24}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{59}{24}$

Forma decimale:

$2.458\overline{3}$

Forma numero misto:

$2 \frac{11}{24}$

Passaggio 8