Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scomponi $x$ da $2 x - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (2 - x)}} d x$

Passaggio 2

Completa il quadrato.

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Passaggio 2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot 2 + x (- x)$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x + x (- x)$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot x - x \cdot x$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.4.1

Sposta $x$ .

$2 x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x - x^{2}$

Passaggio 2.1.5

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Passaggio 2.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$e = 1$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Riordina $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\arcsin (x - 1) + C$