Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} (x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{- 1}^{1} x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 9

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

Passaggio 10

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $1$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 12.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 12.2.3

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $1$ e per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

Passaggio 12.2.4

Calcola $\frac{x^{5}}{5}$ per $1$ e per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.7

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.7.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{2 (0)}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.7.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$0 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.12

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.14

Somma $1$ e $1$ .

$0 + 2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.15

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$0 + \frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.17

Somma $0$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.19

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.21

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.22

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.22.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.22.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.22.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.22.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.22.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.22.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{4}{3} - 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.23

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.24

Somma $\frac{4}{3}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.25

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

Passaggio 12.2.5.26

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5})$

Passaggio 12.2.5.27

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - - \frac{1}{5})$

Passaggio 12.2.5.28

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

Passaggio 12.2.5.29

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Passaggio 12.2.5.30

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{3} + 5 \frac{1 + 1}{5}$

Passaggio 12.2.5.31

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{2}{5})$

Passaggio 12.2.5.32

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Passaggio 12.2.5.33

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{10}{5}$

Passaggio 12.2.5.34

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.34.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

Passaggio 12.2.5.34.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.34.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Passaggio 12.2.5.34.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.34.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} + \frac{2}{1}$

Passaggio 12.2.5.34.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{4}{3} + 2$

Passaggio 12.2.5.35

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.5.36

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5.37

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5.38

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.38.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{4 + 6}{3}$

Passaggio 12.2.5.38.2

Somma $4$ e $6$ .

$\frac{10}{3}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{10}{3}$

Forma decimale:

$3.\overline{3}$

Forma numero misto:

$3 \frac{1}{3}$

Passaggio 14