Calcolo Esempi

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Passaggio 1

Verifica se $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 1]$ o no, trova il dominio di $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 1.1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 2$

Passaggio 1.1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Passaggio 1.1.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.5

Scrivi $| x | \leq \sqrt{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 1.1.2.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 1.1.2.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 1.1.2.6

Trova l'intersezione di $x \leq \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.7

Risolvi $- x \leq \sqrt{2}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{2}$ come $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Passaggio 1.1.2.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 1.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notazione degli intervalli:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notazione intensiva:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Passaggio 1.2

$f (x)$ è continua su $[0, 1]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - x^{2}}$ come ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.7.3

Sposta ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.1.1.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 2.1.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Passaggio 2.1.1.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Passaggio 2.1.1.13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 2.1.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.1.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Definisci se la derivata è continua su $[0, 1]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 1]$ o no, trova il dominio di $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Passaggio 2.2.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt{2 - x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 - x^{2} \geq 0$

Passaggio 2.2.1.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} \geq - 2$

Passaggio 2.2.1.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} \geq - 2$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Passaggio 2.2.1.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.5

Scrivi $| x | \leq \sqrt{2}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 2.2.1.3.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 2.2.1.3.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 2.2.1.3.6

Trova l'intersezione di $x \leq \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.7

Risolvi $- x \leq \sqrt{2}$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.7.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq \sqrt{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.3.7.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.7.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.3.7.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.3.7.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.7.1.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.7.1.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \sqrt{2}$ come $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.3.7.2

Trova l'intersezione di $x \geq - \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Passaggio 2.2.1.3.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.4

Imposta il denominatore in $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - x^{2}}$ come ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1

Semplifica ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2.2.1.2

Semplifica.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 2$

Passaggio 2.2.1.5.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 2$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.5.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.2.1.5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.3.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Passaggio 2.2.1.5.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.5.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.5.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.5.3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 2.2.1.6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notazione intensiva:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Notazione degli intervalli:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notazione intensiva:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Passaggio 2.2.2

$f' (x)$ è continua su $[0, 1]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2.3

La funzione è differenziabile su $[0, 1]$ perché la derivata è continua su $[0, 1]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 3

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso $[0, 1]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso $[0, 1]$ .

Passaggio 4

Trova la derivata di $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 - x^{2}}$ come ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 4.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 4.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Passaggio 4.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.13.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Passaggio 4.13.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 4.13.3

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Scomponi $2$ da $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Passaggio 6