Calcolo Esempi

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 4.2.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 4.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

Passaggio 4.3

Somma $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

Passaggio 4.4

Somma $0$ e $6 x$ .

$6 x + 3$