Calcolo Esempi

$\int (\frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1}) \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{2 \cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- d u_{2} = - \cos (u_{1}) d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Passaggio 5.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int 1 (1 + u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $1 + u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + u_{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin^{2} (u_{1})) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x)) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

Passaggio 12.3

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

Passaggio 12.4

Combina.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1 \sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.5.1

Moltiplica $\sin^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{4} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$