Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Passaggio 1.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Passaggio 1.1.3

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.4

$3$ e $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Passaggio 1.3.8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x}$ come ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.9

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.10

Applica la regola del prodotto a $3 (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.11

Poiché $3^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 1.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Passaggio 1.3.13

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Passaggio 1.3.14

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.16

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.16.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Passaggio 1.3.16.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Passaggio 1.3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.3.18

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.3.19

$3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Passaggio 1.3.20

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.5

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi $3^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{3}}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{2}{\sqrt{3}}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 3.1.2

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 3.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 3.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\sqrt{x}}$ tende a $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Passaggio 6.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \cdot 0$

Passaggio 6.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $0$ .

$0$