Calcolo Esempi

$\sqrt{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{1 + x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimetti in ordine i termini.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Passaggio 6.2

Somma $1$ e $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 9

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 10

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 12.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 13

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 14

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 14.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 15

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Passaggio 16

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Passaggio 18

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 19

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Passaggio 21

Somma $2$ e $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 22

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 23

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 24

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 25

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 25.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 26

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Passaggio 27

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Passaggio 28

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 29

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

Passaggio 30

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$