Calcolo Esempi

$\ln (2 x + y) = x + 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\ln (2 x + y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + y$ .

$\frac{1}{2 x + y} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + y')$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 x + y} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 x + y}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2 + y'$ per $\frac{1}{2 x + y}$ .

$\frac{2 + y'}{2 x + y}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.4

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{2 + y'}{2 x + y} = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $2 x + y$ .

$\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y) = 1 (2 x + y)$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y)$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2 x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y) = 1 (2 x + y)$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 + y' = 1 (2 x + y)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Riordina $2$ e $y'$ .

$y' + 2 = 1 (2 x + y)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $2 x + y$ per $1$ .

$y' + 2 = 2 x + y$

Passaggio 5.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' = 2 x + y - 2$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + y - 2$