Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{1}{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 + x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2 + \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1, 1$

Passaggio 5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ per $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Riordina i termini.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.4.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.1.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Passaggio 5.4.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.3

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 5.4.3.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 5.4.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1} + 2$

Passaggio 9.1.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1 + 2$

Passaggio 9.2

Somma $1$ e $2$ .

$3$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - (1) - \ln (1)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - \ln (1)$

Passaggio 11.2.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 1 - 1 - 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (1) = 1 - 1 + 0$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

$(1, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 13