Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - a}$ come ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.11

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.12.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.14

Moltiplica ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.15

Per scrivere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.16

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18

Moltiplica ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.18.1

Sposta ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19

Semplifica ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.20

Sposta $2$ alla sinistra di $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21

Semplifica.

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Passaggio 1.1.21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.21.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.2.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.3

Riordina i termini.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.5

Scomponi $- 1$ da $3 x$ .

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 a) - (- 3 x)$ .

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.7

Riscrivi $- (2 a - 3 x)$ come $- 1 (2 a - 3 x)$ .

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 a - 3 x = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $2 a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x = - 2 a$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 2 a$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 2 a$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{2 a}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x \sqrt{x - a}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{2 a}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{2 a}{3}$ a $x$ .

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per scrivere $- a$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.2

$- a$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.4

Riscrivi $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Scomponi $a$ da $2 a - a \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1.1

Scomponi $a$ da $2 a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2

Scomponi $a$ da $- a \cdot 3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 4.1.2.4.1.3

Scomponi $a$ da $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

Passaggio 4.1.2.4.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Passaggio 4.1.2.6

$\frac{2 a}{3}$ e $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

Passaggio 5