Calcolo Esempi

$y = x^{3} (3 x + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{3} (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$x^{3} \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{3} + (3 x + 1) (3 x^{2})$

Passaggio 2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $3 x + 1$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot (3 x + 1) x^{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{3} + (3 (3 x) + 3 \cdot 1) x^{2}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{3} + 3 (3 x) x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$3 x^{3} + 9 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 (x^{2} x) + 3 \cdot 1 x^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{3} + 9 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 1 x^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{3} + 9 x^{2 + 1} + 3 \cdot 1 x^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 x^{3} + 9 x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 x^{3} + 9 x^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 3.3.4

Somma $3 x^{3}$ e $9 x^{3}$ .

$12 x^{3} + 3 x^{2}$