Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{8 x \cot (2 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1

Sposta il termine $\frac{1}{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{x \cot (2 x)}$

Passaggio 1.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Passaggio 1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Passaggio 1.4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Passaggio 3

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (2 x)$

Passaggio 4

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \cot (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

Passaggio 5

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.5$ . Di conseguenza, il limite di $x \cot (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $0.5$ .

$0.5$

Passaggio 6

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (2 x)$

Passaggio 7

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \cot (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

Passaggio 8

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $0.5$ . Di conseguenza, il limite di $x \cot (2 x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $0.5$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $0.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scomponi $0.5$ da $1$ .

$\frac{0.5 (2)}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.5 \cdot 2}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{8} \cos (5 \cdot 0)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{2}{8} \cos (0)$

Passaggio 9.3

$\frac{2}{8}$ e $\cos (0)$ .

$\frac{2 \cos (0)}{8}$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scomponi $2$ da $2 \cos (0)$ .

$\frac{2 (\cos (0))}{8}$

Passaggio 9.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

Passaggio 9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (0)}{4}$

Passaggio 9.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$