Calcolo Esempi

$lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{{(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 2} \sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 2} (t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4 \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta l'esponente $4$ da ${(t - 2)}^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{\sqrt{(2 + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{\sqrt{(2 + 4) \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.9.1

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{\sqrt{6 {(2 - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6 {(2 - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9.5

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(3 t - 6)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} 3 t - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} 3 t - lim_{t \to 2} 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{0}{{(3 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{0}{{(3 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{0}{{(6 - 1 \cdot 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{0}{{(6 - 6)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{{(3 t - 6)}^{2}} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]$ come $\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 2^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Riscrivi $(t + 4) {(t - 2)}^{4}$ come ${({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 2^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Riscrivi ${(t - 2)}^{4}$ come ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {({(t - 2)}^{2})}^{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Riordina $t + 4$ e ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{{({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 4)}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{{({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 2^{2})}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 2^{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 4}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t + 4}$ come ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(t - 2)}^{2}$ e $g (t) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t + 4$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t + 4$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.12

$\frac{1}{2}$ e ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.13

Sposta ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.14

$\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(t - 2)}^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4] + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.15

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.17

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.18

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.19

Moltiplica $\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.20

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.20.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t - 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.20.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.20.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t - 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.21

Sposta $2$ alla sinistra di ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.22

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.23

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.24

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.25

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.26

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.27

Per scrivere $2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \cdot \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.28

$2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)$ e $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.30

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.31

Moltiplica ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.31.1

Sposta ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.31.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.31.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.31.4

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.31.5

Dividi $2$ per $2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{1} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.32

Semplifica $4 {(t + 4)}^{1} (t - 2)$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 (t + 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.1

Riscrivi ${(t - 2)}^{2}$ come $(t - 2) (t - 2)$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.2

Espandi $(t - 2) (t - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t (t - 2) - 2 (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t \cdot t + t \cdot - 2 - 2 (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t \cdot t + t \cdot - 2 - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} + t \cdot - 2 - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 2 \cdot t - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 2 t - 2 t + 4 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.3.2

Sottrai $2 t$ da $- 2 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + (4 t + 16) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.5

Espandi $(4 t + 16) (t - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t (t - 2) + 16 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 16 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.6.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.2.1.6.1.1.1

Sposta $t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.6.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} - 8 t + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.6.1.3

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} - 8 t + 16 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.1.6.2

Somma $- 8 t$ e $16 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} + 8 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.2

Somma $t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} - 4 t + 4 + 8 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.3

Somma $- 4 t$ e $8 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 t + 4 - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.2.4

Sottrai $32$ da $4$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 28 = - 140$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 (t) - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.3.1.2

Riscrivi $4$ come $- 10$ più $14$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + (- 10 + 14) t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} - 10 t + 14 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.33.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(5 t^{2} - 10 t) + 14 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t (t - 2) + 14 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.33.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $t - 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

Passaggio 1.3.34

Riscrivi ${(3 t - 6)}^{2}$ come $(3 t - 6) (3 t - 6)$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [(3 t - 6) (3 t - 6)]}$

Passaggio 1.3.35

Espandi $(3 t - 6) (3 t - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.35.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t - 6) - 6 (3 t - 6)]}$

Passaggio 1.3.35.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t - 6)]}$

Passaggio 1.3.35.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.36.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.36.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.36.1.2.1

Sposta $t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36.1.2.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36.1.4

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36.1.5

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 18 t - 6 \cdot - 6]}$

Passaggio 1.3.36.1.6

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 18 t + 36]}$

Passaggio 1.3.36.2

Sottrai $18 t$ da $- 18 t$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 36 t + 36]}$

Passaggio 1.3.37

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 t^{2} - 36 t + 36$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.38

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $9 t^{2}$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.39

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.40

Moltiplica $2$ per $9$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.41

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 36 t$ rispetto a $t$ è $- 36 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.42

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.43

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 + \frac{d}{d t} [36]}$

Passaggio 1.3.44

Poiché $36$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $36$ rispetto a $t$ è $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 + 0}$

Passaggio 1.3.45

Somma $18 t - 36$ e $0$ .

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 t - 36}$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{t + 4}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4}} \cdot \frac{1}{18 t - 36}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4}}$ per $\frac{1}{18 t - 36}$ .

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{\sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 2} (t - 2) (5 t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 2} t - 2 \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 2) \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{t \to 2} 5 t + lim_{t \to 2} 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.5

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.6

Calcola il limite di $14$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.7

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 2) \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.8.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.8.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot (10 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.8.4

Somma $10$ e $14$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 24}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.2.8.5

Moltiplica $0$ per $24$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

Passaggio 3.1.3.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

Passaggio 3.1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

Passaggio 3.1.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (lim_{t \to 2} 18 t - lim_{t \to 2} 36)}$

Passaggio 3.1.3.6

Sposta il termine $18$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 36)}$

Passaggio 3.1.3.7

Calcola il limite di $36$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 36)}$

Passaggio 3.1.3.8

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.8.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2 + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 36)}$

Passaggio 3.1.3.8.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2 + 4} \cdot (18 \cdot 2 - 1 \cdot 36)}$

Passaggio 3.1.3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.9.1

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (18 \cdot 2 - 1 \cdot 36)}$

Passaggio 3.1.3.9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.9.2.1

Moltiplica $18$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (36 - 1 \cdot 36)}$

Passaggio 3.1.3.9.2.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (36 - 36)}$

Passaggio 3.1.3.9.3

Sottrai $36$ da $36$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.9.4

Moltiplica $\sqrt{6}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.9.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.10

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{\sqrt{t + 4} (18 t - 36)} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [(t - 2) (5 t + 14)]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [(t - 2) (5 t + 14)]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t - 2$ e $g (t) = 5 t + 14$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [5 t + 14] + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t + 14$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [14]$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.7

Poiché $14$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $14$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 + 0) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.8

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) \cdot 5 + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.9

Sposta $5$ alla sinistra di $t - 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 \cdot (t - 2) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.12

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (1 + 0)}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.13

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $5 t + 14$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 t + 5 \cdot - 2 + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.15.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.15.2.1

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 t - 10 + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.15.2.2

Somma $5 t$ e $5 t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t - 10 + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.15.2.3

Somma $- 10$ e $14$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.16

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t + 4}$ come ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 t - 36)]}$

Passaggio 3.3.17

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 18 t - 36$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [18 t - 36] + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.18

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 t - 36$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [18 t] + \frac{d}{d t} [- 36]$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [18 t] + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.19

Poiché $18$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $18 t$ rispetto a $t$ è $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.20

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.21

Moltiplica $18$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.22

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 36$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 + 0) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.23

Somma $18$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 18 + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.24

Sposta $18$ alla sinistra di ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 \cdot {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.3.25

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.25.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t + 4$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.25.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.25.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 4$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.26

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.27

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.29

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.29.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.29.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.30

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.31

$\frac{1}{2}$ e ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.32

Sposta ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

Passaggio 3.3.33

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])}$

Passaggio 3.3.34

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [4])}$

Passaggio 3.3.35

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Passaggio 3.3.36

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Passaggio 3.3.37

Moltiplica $18 t - 36$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.1

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{(18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.2.1

Moltiplica $18 t - 36$ per $\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{18 t - 36}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.2

Scomponi $2$ da $18 t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 \cdot 9 t - 36}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.3

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 \cdot 9 t + 2 \cdot - 18}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.4

Scomponi $2$ da $2 (9 t) + 2 (- 18)$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.2.5.1

Scomponi $2$ da $2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 t - 18}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.6

Scomponi $9$ da $9 t - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.2.6.1

Scomponi $9$ da $9 t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t) - 18}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.6.2

Scomponi $9$ da $- 18$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 t + 9 \cdot - 2}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.2.6.3

Scomponi $9$ da $9 t + 9 \cdot - 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.3.38.3

Per scrivere $18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2) + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.5.1

Scomponi $9$ da $9 (t - 2) + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.5.1.1

Scomponi $9$ da $18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2) + 9 \cdot 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.1.2

Scomponi $9$ da $9 (t - 2) + 9 (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.2

Moltiplica ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.5.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.2.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{1})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.3

Semplifica $2 {(t + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 (t + 4))}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 t + 2 \cdot 4)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.6

Somma $t$ e $2 t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t - 2 + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.7

Somma $- 2$ e $8$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t + 6)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.8

Scomponi $3$ da $3 t + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.38.5.8.1

Scomponi $3$ da $3 t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 (t) + 6)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.8.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t + 3 \cdot 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.8.3

Scomponi $3$ da $3 t + 3 \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 \cdot 3 (t + 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.3.38.5.9

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{27 (t + 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} (10 t + 4) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{27 (t + 2)}$

Passaggio 3.5

Riscrivi ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{t + 4}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} (10 t + 4) \frac{\sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $10 t + 4$ per $\frac{\sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta il termine $\frac{1}{27}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} lim_{t \to 2} \frac{(10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{t + 2}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{lim_{t \to 2} (10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{lim_{t \to 2} 10 t + 4 \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(lim_{t \to 2} 10 t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.5

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.6

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.9

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 4.10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 2}$

Passaggio 4.11

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $t$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $t$ inserendo $2$ per $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \cdot \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $10 \cdot 2 + 4$ e $2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 + 2}$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot 1 + 2}$

Passaggio 6.2.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot 1 + 2 (1)}$

Passaggio 6.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1 + 2 (1)$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot (1 + 1)}$

Passaggio 6.2.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot (1 + 1)}$

Passaggio 6.2.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(10 + 2) \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

Passaggio 6.3.2

Somma $10$ e $2$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

Passaggio 6.3.3

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{1 + 1}$

Passaggio 6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $6$ da $54$ .

$\frac{1}{6 (9)} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $6$ da $12 \sqrt{6}$ .

$\frac{1}{6 (9)} \cdot \frac{6 (2 \sqrt{6})}{2}$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6 \cdot 9} \cdot \frac{6 (2 \sqrt{6})}{2}$

Passaggio 6.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{2 \sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{9 \cdot 2}$

Passaggio 6.7

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{18}$

Passaggio 6.8

Elimina il fattore comune di $2$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{18}$

Passaggio 6.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Passaggio 6.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6}}{9}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{6}}{9}$

Forma decimale:

$0.27216552 \dots$