Algebra Esempi

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 1

Somma $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a^{2}, 1, b^{2}$

Passaggio 2.2

Poiché $a^{2}, 1, b^{2}$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $a^{2}, b^{2}$ .

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

I fattori di $a^{2}$ sono $a \cdot a$ , che corrisponde a $a$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.7

I fattori di $b^{2}$ sono $b \cdot b$ , che corrisponde a $b$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$b^{2} = b \cdot b$

$b$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{2}, b^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a \cdot a \cdot b \cdot b$

Passaggio 2.9

Semplifica $a \cdot a \cdot b \cdot b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} \cdot b \cdot b$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Sposta $b$ .

$a^{2} \cdot (b \cdot b)$

Passaggio 2.9.2.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a^{2} \cdot b^{2}$

$a^{2} b^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica per $a^{2} b^{2}$ ciascun termine in $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ per $a^{2} b^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{a^{2}} (a^{2} b^{2}) = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $a^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $a^{2}$ da $a^{2} b^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{a^{2}} (a^{2} (b^{2})) = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} (a^{2} b^{2}) = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} b^{2} = 1 (a^{2} b^{2}) + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $a^{2} b^{2}$ per $1$ .

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a^{2} b^{2})$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Scomponi $b^{2}$ da $a^{2} b^{2}$ .

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (b^{2} a^{2})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (b^{2} a^{2})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} b^{2} = a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2} = x^{2} b^{2}$ .

$a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2} = x^{2} b^{2}$

Passaggio 4.2

Scomponi $a^{2}$ da $a^{2} b^{2} + y^{2} a^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $a^{2}$ da $a^{2} b^{2}$ .

$a^{2} (b^{2}) + y^{2} a^{2} = x^{2} b^{2}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $a^{2}$ da $y^{2} a^{2}$ .

$a^{2} (b^{2}) + a^{2} y^{2} = x^{2} b^{2}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $a^{2}$ da $a^{2} (b^{2}) + a^{2} y^{2}$ .

$a^{2} (b^{2} + y^{2}) = x^{2} b^{2}$

Passaggio 4.3

Dividi per $b^{2} + y^{2}$ ciascun termine in $a^{2} (b^{2} + y^{2}) = x^{2} b^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi per $b^{2} + y^{2}$ ciascun termine in $a^{2} (b^{2} + y^{2}) = x^{2} b^{2}$ .

$\frac{a^{2} (b^{2} + y^{2})}{b^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $b^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a^{2} (b^{2} + y^{2})}{b^{2} + y^{2}} = \frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $a^{2}$ per $1$ .

$a^{2} = \frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$a = \pm \sqrt{\frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{x^{2} b^{2}}{b^{2} + y^{2}}}$ come $\frac{\sqrt{x^{2} b^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{x^{2} b^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Riscrivi $x^{2} b^{2}$ come ${(x b)}^{2}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt{{(x b)}^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = \pm \frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $\frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ .

$a = \pm \frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Moltiplica $\frac{x b}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{\sqrt{b^{2} + y^{2}} \sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5.4.2

Eleva $\sqrt{b^{2} + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{b^{2} + y^{2}}}$

Passaggio 4.5.4.3

Eleva $\sqrt{b^{2} + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1}}$

Passaggio 4.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{2}}$

Passaggio 4.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{b^{2} + y^{2}}}^{2}$ come $b^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{b^{2} + y^{2}}$ come ${(b^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{({(b^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{{(b^{2} + y^{2})}^{1}}$

Passaggio 4.5.4.6.5

Semplifica.

$a = \pm \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

Passaggio 4.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$

$a = - \frac{x b \sqrt{b^{2} + y^{2}}}{b^{2} + y^{2}}$