Algebra Esempi

$\frac{4}{c - 2} - \frac{3}{c} < 0$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{4}{c - 2} - \frac{3}{c}$ .

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{4}{c - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{c}{c}$ .

$\frac{4}{c - 2} \cdot \frac{c}{c} - \frac{3}{c} < 0$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{3}{c}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{c - 2}{c - 2}$ .

$\frac{4}{c - 2} \cdot \frac{c}{c} - \frac{3}{c} \cdot \frac{c - 2}{c - 2} < 0$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(c - 2) c$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{4}{c - 2}$ per $\frac{c}{c}$ .

$\frac{4 c}{(c - 2) c} - \frac{3}{c} \cdot \frac{c - 2}{c - 2} < 0$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{3}{c}$ per $\frac{c - 2}{c - 2}$ .

$\frac{4 c}{(c - 2) c} - \frac{3 (c - 2)}{c (c - 2)} < 0$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(c - 2) c$ .

$\frac{4 c}{c (c - 2)} - \frac{3 (c - 2)}{c (c - 2)} < 0$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 c - 3 (c - 2)}{c (c - 2)} < 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 c - 3 c - 3 \cdot - 2}{c (c - 2)} < 0$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{4 c - 3 c + 6}{c (c - 2)} < 0$

Passaggio 1.5.3

Sottrai $3 c$ da $4 c$ .

$\frac{c + 6}{c (c - 2)} < 0$

Passaggio 2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$c = 0$

$c + 6 = 0$

$c - 2 = 0$

Passaggio 3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$c = - 6$

Passaggio 4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$c = 2$

Passaggio 5

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$c = 0$

$c = - 6$

$c = 2$

Passaggio 6

Consolida le soluzioni.

$c = 0, - 6, 2$

Passaggio 7

Trova il dominio di $\frac{4}{c - 2} - \frac{3}{c}$ .

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Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{c - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$c - 2 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$c = 2$

Passaggio 7.3

Imposta il denominatore in $\frac{3}{c}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$c = 0$

Passaggio 7.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $c$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$c < - 6$

$- 6 < c < 0$

$0 < c < 2$

$c > 2$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $c < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $c < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = - 8$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $c$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(- 8) - 2} - \frac{3}{- 8} < 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 0.025$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < c < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < c < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = - 3$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $c$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(- 3) - 2} - \frac{3}{- 3} < 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0.2$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < c < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < c < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = 1$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $c$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(1) - 2} - \frac{3}{1} < 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $- 7$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $c > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $c > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$c = 4$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $c$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{(4) - 2} - \frac{3}{4} < 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $1.25$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$c < - 6$ Vero

$- 6 < c < 0$ Falso

$0 < c < 2$ Vero

$c > 2$ Falso

$c < - 6$ Vero

$- 6 < c < 0$ Falso

$0 < c < 2$ Vero

$c > 2$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$c < - 6$ o $0 < c < 2$

Passaggio 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 6) \cup (0, 2)$

Passaggio 12