Algebra Esempi

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ .

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y^{8}} = 2 x$

Passaggio 2.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

Passaggio 2.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Espandi $\ln (e^{y^{8}})$ spostando $y^{8}$ fuori dal logaritmo.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

Passaggio 2.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $y^{8}$ per $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

Passaggio 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Passaggio 2.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Passaggio 2.7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Passaggio 2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta l'argomento in $\ln (2 x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x > 0$

Passaggio 4.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > 0$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x > 0$

Passaggio 4.3.3

Imposta il radicando in $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\ln (2 x) \geq 0$

Passaggio 4.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\ln (2 x) = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Riscrivi $\ln (2 x) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

Passaggio 4.3.4.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 x = e^{0}$ .

$2 x = e^{0}$

Passaggio 4.3.4.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 x = 1$

Passaggio 4.3.4.2.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.4.2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.4.2.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.4.3

Trova il dominio di $\ln (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.1

Imposta l'argomento in $\ln (2 x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x > 0$

Passaggio 4.3.4.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > 0$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.4.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.3.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x > 0$

Passaggio 4.3.4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(0, \infty)$

Passaggio 4.3.4.4

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \geq \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ è il dominio di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Passaggio 5