Algebra Esempi

$(3 x^{3} - 3 - 6 x) \div (3 + 3 x)$

Passaggio 1

Riscrivi la divisione come una frazione.

$\frac{3 x^{3} - 3 - 6 x}{3 + 3 x}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $3 x^{3} - 3 - 6 x$ e $3 + 3 x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3}) - 3 - 6 x}{3 + 3 x}$

Passaggio 2.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (x^{3}) + 3 \cdot - 1 - 6 x}{3 + 3 x}$

Passaggio 2.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{3}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1) - 6 x}{3 + 3 x}$

Passaggio 2.4

Scomponi $3$ da $- 6 x$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1) + 3 (- 2 x)}{3 + 3 x}$

Passaggio 2.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{3} - 1) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 + 3 x}$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot 1 + 3 x}$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot 1 + 3 (x)}$

Passaggio 2.6.3

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1 + 3 (x)$ .

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot (1 + x)}$

Passaggio 2.6.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x^{3} - 1 - 2 x)}{3 \cdot (1 + x)}$

Passaggio 2.6.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3} - 1 - 2 x}{1 + x}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Riordina i termini.

$\frac{x^{3} - 2 x - 1}{1 + x}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{3} - 2 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 2 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 1 + 2 - 1$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$1 - 1$

Passaggio 3.2.3.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 2 x - 1}{x + 1}$

Passaggio 3.2.5

Dividi $x^{3} - 2 x - 1$ per $x + 1$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 3.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Passaggio 3.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 3.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 3.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 3.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 3.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 3.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 3.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 3.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$

Passaggio 3.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 3.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 3.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 3.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x - 1$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 3.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 3.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 1$

Passaggio 3.2.6

Scrivi $x^{3} - 2 x - 1$ come insieme di fattori.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x - 1)}{1 + x}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x - 1)}{x + 1}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x - 1)}{x + 1}$

Passaggio 4.3

Dividi $x^{2} - x - 1$ per $1$ .

$x^{2} - x - 1$