Algebra Esempi

$\frac{2 x^{2}}{25} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{49} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{25}{2}} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{49} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 7$

$b = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$k = 3$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{49 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{49 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\sqrt{49 - \frac{50}{4}}$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\sqrt{49 - \frac{2 (25)}{4}}$

Passaggio 5.3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{49 - \frac{25}{2}}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $49$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{49 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Passaggio 5.3.6

$49$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{49 \cdot 2 - 25}{2}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $49$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{98 - 25}{2}}$

Passaggio 5.3.8.2

Sottrai $25$ da $98$ .

$\sqrt{\frac{73}{2}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{73}{2}}$ come $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.11.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.3.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 5.3.11.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.11.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.3.11.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.11.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.3.11.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.12.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{73 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 5.3.12.2

Moltiplica $73$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{146}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 3 + 7)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 10)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 3 - (7))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 4)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 3 - (\frac{\sqrt{146}}{2}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.2

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25 \cdot 2}{4}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{50}{4}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.6

Elimina il fattore comune di $50$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.6.1

Scomponi $2$ da $50$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{2 (25)}{4}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{49 - \frac{25}{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.7

Per scrivere $49$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{49 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.8

$49$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{49 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{49 \cdot 2 - 25}{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Moltiplica $49$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{98 - 25}{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Sottrai $25$ da $98$ .

$\frac{\sqrt{\frac{73}{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.11

Riscrivi $\sqrt{\frac{73}{2}}$ come $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.12

Moltiplica $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.13.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2^{1}}}{7}$

Passaggio 8.3.1.13.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{\sqrt{73} \sqrt{2}}{2}}{7}$

Passaggio 8.3.1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.14.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\frac{\sqrt{73 \cdot 2}}{2}}{7}$

Passaggio 8.3.1.14.2

Moltiplica $73$ per $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{146}}{2}}{7}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{146}}{2} \cdot \frac{1}{7}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{146}}{2} \cdot \frac{1}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{146}}{2}$ per $\frac{1}{7}$ .

$\frac{\sqrt{146}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 8.3.3.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{\sqrt{146}}{14}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 10)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3 + \frac{\sqrt{146}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, 3 - \frac{\sqrt{146}}{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{146}}{14}$

Passaggio 10