Algebra Esempi

$\frac{x^{2}}{x - 3} = \frac{x + 2}{2 x - 5}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica $x^{2} (2 x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + x^{2} (2 x - 5) = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.2.2

Riordina.

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Passaggio 2.1.2.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.2.2.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 x^{2} x - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.3.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (x^{1} x^{2}) - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{1 + 2} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$2 x^{3} - 5 \cdot x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

$2 x^{3} - 5 x^{2} = (x - 3) (x + 2)$

Passaggio 2.2

Semplifica $(x - 3) (x + 2)$ .

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Passaggio 2.2.1

Espandi $(x - 3) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x (x + 2) - 3 (x + 2)$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2)$

Passaggio 2.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Passaggio 2.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2$

Passaggio 2.2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} + 2 x - 3 x - 6$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} = x^{2} - x - 6$

Passaggio 2.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} = - x - 6$

Passaggio 2.3.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - x^{2} + x = - 6$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $x^{2}$ da $- 5 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x = - 6$

Passaggio 2.4

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6 = 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.5.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Passaggio 2.5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Passaggio 2.5.3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 - 6 \cdot 2^{2} + 2 + 6$

Passaggio 2.5.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 6 \cdot 4 + 2 + 6$

Passaggio 2.5.3.5

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$16 - 24 + 2 + 6$

Passaggio 2.5.3.6

Sottrai $24$ da $16$ .

$- 8 + 2 + 6$

Passaggio 2.5.3.7

Somma $- 8$ e $2$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 2.5.3.8

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 2.5.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6}{x - 2}$

Passaggio 2.5.5

Dividi $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ per $x - 2$ .

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Passaggio 2.5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$6$

Passaggio 2.5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Passaggio 2.5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 4 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$

Passaggio 2.5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Passaggio 2.5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$

Passaggio 2.5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	+	$6$

Passaggio 2.5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x + 6$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$

Passaggio 2.5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 2.5.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 2 x - 3$

Passaggio 2.5.6

Scrivi $2 x^{3} - 6 x^{2} + x + 6$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 2.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.8

Imposta $2 x^{2} - 2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Imposta $2 x^{2} - 2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Passaggio 2.8.2

Risolvi $2 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 2$ e $c = - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.1.3

Somma $4$ e $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$

Passaggio 2.8.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 2.8.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 2.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (2 x^{2} - 2 x - 3) = 0$ vera.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Forma decimale:

$x = 2, 1.82287565 \dots, - 0.82287565 \dots$