Algebra Esempi

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - h)}^{2}$ come $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - h) (x - h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h) + k$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $h$ per $h$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.4.1

Sposta $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) + k$

Passaggio 1.3.1.4.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2}) + k$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $h^{2}$ per $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $h x$ da $- x h$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Sposta $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $h x$ da $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Passaggio 1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Passaggio 2

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k = f (x)$

Passaggio 3

Sottrai $f (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k - f (x) = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = a$ , $b = - 2 a h$ e $c = a h^{2} + k - f (x)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a h)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 (a h))}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.2

Sia $u = a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ con $u$ .

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Passaggio 6.1.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 6.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 a h$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 2 a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} a^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Passaggio 6.1.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 4 u}}{2 a}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $4$ da $4 a^{2} h^{2} - 4 u$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Scomponi $4$ da $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 a}$

Passaggio 6.1.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 a}$

Passaggio 6.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - u)}}{2 a}$

Passaggio 6.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot (a h^{2} + k - f (x))))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5

Semplifica.

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Passaggio 6.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a (a h^{2}) + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1.5.1.2.1

Sposta $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot a h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2}) - (a k) - (a (- f (x))))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.1.4

Moltiplica $- (a (- f (x)))$ .

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Passaggio 6.1.5.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + 1 (a (f (x))))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.1.4.2

Moltiplica $a$ per $1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + a f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.2

Sottrai $a^{2} h^{2}$ da $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (0 - a k + a f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.5.3

Sottrai $a k$ da $0$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (- a k + a f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.6

Scomponi $a$ da $- a k + a f (x)$ .

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Passaggio 6.1.6.1

Scomponi $a$ da $- a k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.6.2

Scomponi $a$ da $a f (x)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a (f (x)))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.6.3

Scomponi $a$ da $a (- 1 k) + a (f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k + f (x)))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi $- 1 k$ come $- k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a (- k + f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.8

Riscrivi $4 a (- k + f (x))$ come $2^{2} (a (- k + f (x)))$ .

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Passaggio 6.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} a (- k + f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.8.2

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} (a (- k + f (x)))}}{2 a}$

Passaggio 6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$

Passaggio 6.2

Semplifica $\frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$ .

$x = \frac{a h \pm \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{a h + \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}, \frac{a h - \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$