Algebra Esempi

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $23$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $23 x$ rispetto a $x$ è $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $23$ per $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 216$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 216$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $2600$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2600}{x}$ rispetto a $x$ è $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Somma $x + 23$ e $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.2.2

$- 2600$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Passaggio 1.6.3

Riordina i termini.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2600$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2600}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Passaggio 2.3

Poiché $23$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $23$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$5200$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $0.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0.5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $23$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $23 x$ rispetto a $x$ è $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $23$ per $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.4

Poiché $- 216$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 216$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $2600$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2600}{x}$ rispetto a $x$ è $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 4.1.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Passaggio 4.1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Somma $x + 23$ e $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6.2.2

$- 2600$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.6.3

Riordina i termini.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 9.01216529$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{2600}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 9.01216529$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 9.01216529$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $9.01216529$ alla potenza di $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Passaggio 9.1.2

Dividi $5200$ per $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Passaggio 9.2

Somma $7.10421175$ e $1$ .

$8.10421175$

Passaggio 10

$x = 9.01216529$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 9.01216529$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 9.01216529$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9.01216529$ nell'espressione.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $9.01216529$ alla potenza di $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $0.5$ per $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $23$ per $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Passaggio 11.2.1.4

Dividi $2600$ per $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $40.60956164$ e $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $216$ da $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $31.88936342$ e $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ è un minimo locale

Passaggio 13