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Algebra Esempi
Passaggio 1
Passaggio 1.1
Differenzia.
Passaggio 1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2
Calcola .
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Calcola .
Passaggio 1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.4.2
Somma e .
Passaggio 2
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Calcola .
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.4
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 2.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.4.2
Somma e .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Passaggio 4.1.1
Differenzia.
Passaggio 4.1.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.1.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Calcola .
Passaggio 4.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Differenzia usando la regola della costante.
Passaggio 4.1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.4.2
Somma e .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.
Passaggio 5.3
Sostituisci i valori , e nella formula quadratica e risolvi per .
Passaggio 5.4
Semplifica.
Passaggio 5.4.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 5.4.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.4.1.2
Moltiplica .
Passaggio 5.4.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.1.3
Somma e .
Passaggio 5.4.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 5.4.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.4.1.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.4.1.5
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 5.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.4.3
Semplifica .
Passaggio 5.5
Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione di .
Passaggio 5.5.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 5.5.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.5.1.2
Moltiplica .
Passaggio 5.5.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.1.3
Somma e .
Passaggio 5.5.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.5.1.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.1.5
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 5.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.3
Semplifica .
Passaggio 5.5.4
Cambia da a .
Passaggio 5.6
Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione di .
Passaggio 5.6.1
Semplifica il numeratore.
Passaggio 5.6.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.6.1.2
Moltiplica .
Passaggio 5.6.1.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.1.3
Somma e .
Passaggio 5.6.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 5.6.1.4.1
Scomponi da .
Passaggio 5.6.1.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 5.6.1.5
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 5.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 5.6.3
Semplifica .
Passaggio 5.6.4
Cambia da a .
Passaggio 5.7
La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.
Passaggio 6
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 9.1.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 9.1.1.1
Scomponi da .
Passaggio 9.1.1.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 9.1.1.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 9.1.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 9.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Semplifica sottraendo i numeri.
Passaggio 9.2.1
Sottrai da .
Passaggio 9.2.2
Somma e .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 11.2.1
Trova il comune denominatore.
Passaggio 11.2.1.1
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 11.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.4
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 11.2.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.7
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 11.2.1.8
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.9
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 11.2.3
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 11.2.3.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 11.2.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.3.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 11.2.3.3.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.3.3.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.3.3.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.3.4
Usa il teorema binomiale.
Passaggio 11.2.3.5
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 11.2.3.5.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.3.5.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.3.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.3.5.4
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.3.5.5
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.3.5.5.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 11.2.3.5.5.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 11.2.3.5.5.3
e .
Passaggio 11.2.3.5.5.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 11.2.3.5.5.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.3.5.5.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.3.5.5.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 11.2.3.5.6
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.3.5.7
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.3.5.8
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.3.5.9
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.3.5.9.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.3.5.9.2
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.3.5.10
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 11.2.3.6
Somma e .
Passaggio 11.2.3.7
Somma e .
Passaggio 11.2.3.8
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 11.2.3.9
Eleva alla potenza di .
Passaggio 11.2.3.10
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.3.11
Espandi usando il metodo FOIL.
Passaggio 11.2.3.11.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.2.3.11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.2.3.11.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.2.3.12
Semplifica e combina i termini simili.
Passaggio 11.2.3.12.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 11.2.3.12.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.3.12.1.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 11.2.3.12.1.3
Combina usando la regola del prodotto per i radicali.
Passaggio 11.2.3.12.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.3.12.1.5
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.3.12.1.6
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 11.2.3.12.2
Somma e .
Passaggio 11.2.3.12.3
Somma e .
Passaggio 11.2.3.13
e .
Passaggio 11.2.3.14
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 11.2.3.14.1
Scomponi da .
Passaggio 11.2.3.14.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 11.2.3.14.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 11.2.3.15
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 11.2.3.16
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.2.3.17
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.3.18
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.4
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 11.2.5
Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di .
Passaggio 11.2.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 11.2.7
Semplifica il numeratore.
Passaggio 11.2.7.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.2.7.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.7.3
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.7.4
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.2.7.5
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.7.6
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.7.7
Sottrai da .
Passaggio 11.2.7.8
Sottrai da .
Passaggio 11.2.8
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 11.2.9
e .
Passaggio 11.2.10
Semplifica l'espressione.
Passaggio 11.2.10.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 11.2.10.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.10.3
Sottrai da .
Passaggio 11.2.11
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 11.2.12
Riduci le frazioni.
Passaggio 11.2.12.1
e .
Passaggio 11.2.12.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 11.2.13
Semplifica il numeratore.
Passaggio 11.2.13.1
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.13.2
Sottrai da .
Passaggio 11.2.14
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 11.2.15
Riduci le frazioni.
Passaggio 11.2.15.1
e .
Passaggio 11.2.15.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 11.2.16
Semplifica il numeratore.
Passaggio 11.2.16.1
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.16.2
Somma e .
Passaggio 11.2.17
Semplifica tramite esclusione.
Passaggio 11.2.17.1
Riscrivi come .
Passaggio 11.2.17.2
Scomponi da .
Passaggio 11.2.17.3
Scomponi da .
Passaggio 11.2.17.4
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 11.2.18
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 11.2.19
Moltiplica .
Passaggio 11.2.19.1
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.19.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.20
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 13.1.1
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 13.1.1.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.1.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.1.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 13.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Semplifica sottraendo i numeri.
Passaggio 13.2.1
Sottrai da .
Passaggio 13.2.2
Sottrai da .
Passaggio 14
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 15
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Passaggio 15.2.1
Trova il comune denominatore.
Passaggio 15.2.1.1
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 15.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.4
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 15.2.1.5
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.7
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 15.2.1.8
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.9
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 15.2.3
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 15.2.3.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.3.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.3
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 15.2.3.3.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.3.3.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.3.3.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.3.4
Usa il teorema binomiale.
Passaggio 15.2.3.5
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 15.2.3.5.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.5.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.5.4
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.5.5
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.5.6
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.3.5.7
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.5.8
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.5.9
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.3.5.9.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 15.2.3.5.9.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 15.2.3.5.9.3
e .
Passaggio 15.2.3.5.9.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 15.2.3.5.9.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.3.5.9.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.3.5.9.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 15.2.3.5.10
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.5.11
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.3.5.12
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.5.13
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.3.5.14
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.5.15
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.3.5.15.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.3.5.15.2
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.3.5.16
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 15.2.3.5.17
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.6
Somma e .
Passaggio 15.2.3.7
Sottrai da .
Passaggio 15.2.3.8
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.3.9
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.10
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.3.11
Espandi usando il metodo FOIL.
Passaggio 15.2.3.11.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 15.2.3.11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 15.2.3.11.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 15.2.3.12
Semplifica e combina i termini simili.
Passaggio 15.2.3.12.1
Semplifica ciascun termine.
Passaggio 15.2.3.12.1.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.12.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.12.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.12.1.4
Moltiplica .
Passaggio 15.2.3.12.1.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.12.1.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.12.1.4.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.12.1.4.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.3.12.1.4.5
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 15.2.3.12.1.4.6
Somma e .
Passaggio 15.2.3.12.1.5
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.3.12.1.5.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 15.2.3.12.1.5.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 15.2.3.12.1.5.3
e .
Passaggio 15.2.3.12.1.5.4
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 15.2.3.12.1.5.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.3.12.1.5.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.3.12.1.5.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 15.2.3.12.2
Somma e .
Passaggio 15.2.3.12.3
Sottrai da .
Passaggio 15.2.3.13
e .
Passaggio 15.2.3.14
Elimina il fattore comune di .
Passaggio 15.2.3.14.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.3.14.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.3.14.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.3.15
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 15.2.3.16
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 15.2.3.17
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.18
Moltiplica .
Passaggio 15.2.3.18.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.18.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3.19
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.4
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 15.2.5
Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di .
Passaggio 15.2.5.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.5.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.6
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 15.2.7
Semplifica il numeratore.
Passaggio 15.2.7.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 15.2.7.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.7.3
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.7.4
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 15.2.7.5
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.7.6
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.7.7
Sottrai da .
Passaggio 15.2.7.8
Somma e .
Passaggio 15.2.8
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 15.2.9
e .
Passaggio 15.2.10
Semplifica l'espressione.
Passaggio 15.2.10.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 15.2.10.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.10.3
Sottrai da .
Passaggio 15.2.11
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 15.2.12
e .
Passaggio 15.2.13
Semplifica l'espressione.
Passaggio 15.2.13.1
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 15.2.13.2
Riordina i fattori di .
Passaggio 15.2.14
Somma e .
Passaggio 15.2.15
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 15.2.16
Riduci le frazioni.
Passaggio 15.2.16.1
e .
Passaggio 15.2.16.2
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 15.2.17
Semplifica il numeratore.
Passaggio 15.2.17.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.17.2
Somma e .
Passaggio 15.2.18
Semplifica tramite esclusione.
Passaggio 15.2.18.1
Riscrivi come .
Passaggio 15.2.18.2
Scomponi da .
Passaggio 15.2.18.3
Scomponi da .
Passaggio 15.2.18.4
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 15.2.19
Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.
Passaggio 15.2.20
Moltiplica .
Passaggio 15.2.20.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.20.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.21
La risposta finale è .
Passaggio 16
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
Passaggio 17