Algebra Esempi

$S (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Passaggio 1

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Passaggio 2

Poiché c'è $1$ cambiamento di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, c'è al massimo $1$ radice positiva (regola di Cartesio).

Radici positive: $1$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $w$ con $- w$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- w) = {(- w)}^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- w$ .

$f (- w) = {(- 1)}^{4} w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- w) = 1 w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.3

Moltiplica $w^{4}$ per $1$ .

$f (- w) = w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $- w$ .

$f (- w) = w^{4} - ({(- 1)}^{3} w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sposta ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica ${(- 1)}^{3}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.5.3

Somma $3$ e $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{4} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- w) = w^{4} + 1 w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.7

Moltiplica $w^{3}$ per $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.8

Applica la regola del prodotto a $- w$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 ({(- 1)}^{2} w^{2}) - (- w) - 12$

Passaggio 4.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 (1 w^{2}) - (- w) - 12$

Passaggio 4.10

Moltiplica $w^{2}$ per $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} - (- w) - 12$

Passaggio 4.11

Moltiplica $- (- w)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + 1 w - 12$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $w$ per $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + w - 12$

Passaggio 5

Poiché ci sono $3$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $3$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $3 - 2$ ).

Radici negative: $3$ o $1$

Passaggio 6

Il numero di radici positive possibili è $1$ e il numero di radici negative possibili è $3$ o $1$ .

Radici positive: $1$

Radici negative: $3$ o $1$