Algebra Esempi

$f (x) = 3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 1

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x^{3}$ da $3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x^{3}$ da ciascun termine nel polinomio.

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x^{3}$ dall'espressione $3 x^{6}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x^{3}$ dall'espressione $2 x^{5}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{4} - 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x^{3}$ dall'espressione $x^{4}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) - 2 x^{3}$

Passaggio 1.1.4

Metti in evidenza il massimo comune divisore di $x^{3}$ dall'espressione $- 2 x^{3}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) + x^{3} (- 2)$

Passaggio 1.2

Poiché tutti i termini condividono un fattore comune di $x^{3}$ , può essere estratto da ciascun termine.

$x^{3} (3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2)$

Passaggio 2

Applica la regola di Cartesio all'espressione interna $3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$ .

$3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Passaggio 3

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Passaggio 4

Poiché c'è $1$ cambiamento di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, c'è al massimo $1$ radice positiva (regola di Cartesio).

Radici positive: $1$

Passaggio 5

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Passaggio 6

Semplifica il polinomio.

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Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Passaggio 6.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = 3 (- x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Passaggio 6.2.4

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 2$

Passaggio 6.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 (1 x^{2}) - x - 2$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

Passaggio 7

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $2 - 2$ ).

Radici negative: $2$ o $0$

Passaggio 8

Il numero di radici positive possibili è $1$ e il numero di radici negative possibili è $2$ o $0$ .

Radici positive: $1$

Radici negative: $2$ o $0$