Algebra Esempi

$\sqrt{3 x} \leq \sqrt{2 x + 3}$

Passaggio 1

Risolvi $0 \leq x \leq 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{3 x}}^{2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x}$ come ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 x)}^{1} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Semplifica.

$3 x \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ come $2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + 3}$ come ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x \leq {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{1}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Semplifica.

$3 x \leq 2 x + 3$

Passaggio 1.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 x - 2 x \leq 3$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$x \leq 3$

Passaggio 1.4

Trova il dominio di $\sqrt{3 x} - \sqrt{2 x + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{3 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 x \geq 0$

Passaggio 1.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x \geq 0$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 1.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x \geq 0$

Passaggio 1.4.3

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x + 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x + 3 \geq 0$

Passaggio 1.4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x \geq - 3$

Passaggio 1.4.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq - 3$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.4.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.4.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.4.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 1.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 1.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 1.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{3 (- 2)} \leq \sqrt{2 (- 2) + 3}$

Passaggio 1.6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 1.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 1.6.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{3 (2)} \leq \sqrt{2 (2) + 3}$

Passaggio 1.6.2.3

Il lato sinistro di $2.44948974$ è minore del lato destro di $2.64575131$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 1.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 1.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{3 (6)} \leq \sqrt{2 (6) + 3}$

Passaggio 1.6.3.3

Il lato sinistro di $4.24264068$ è maggiore del lato destro di $3.87298334$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 1.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq 3$

Passaggio 2

Usa la diseguaglianza $0 \leq x \leq 3$ per creare la notazione dell'insieme.

${x | 0 \leq x \leq 3}$

Passaggio 3