Algebra Esempi

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 \geq 0$

Passaggio 1

Risolvi $- 1 \leq x \leq 1 or x \geq 3$ .

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Passaggio 1.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi.

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Passaggio 1.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1, 1$

Passaggio 1.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 1.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 1.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 3 \geq 0$

Passaggio 1.9.1.3

Il lato sinistro di $- 105$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - (0) + 3 \geq 0$

Passaggio 1.9.2.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 1.9.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 1.9.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - (2) + 3 \geq 0$

Passaggio 1.9.3.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 1.9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 1.9.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{3} - 3 {(6)}^{2} - (6) + 3 \geq 0$

Passaggio 1.9.4.3

Il lato sinistro di $105$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 1.9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 1.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 1$ o $x \geq 3$

Passaggio 2

Usa la diseguaglianza $- 1 \leq x \leq 1 or x \geq 3$ per creare la notazione dell'insieme.

${x | - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 3}$

Passaggio 3