Algebra Esempi

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $2$ da $4 y^{2} - 18 y + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $2$ da $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 18 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi $2$ da $2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi.

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Passaggio 1.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ e la cui somma è $b = - 9$ .

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Passaggio 1.1.2.1.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 (y) + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 9$ come $- 3$ più $- 6$ .

$\frac{2 (2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 ((2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 (y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y - 3$ .

$\frac{2 ((2 y - 3) (y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y$ da $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y}$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $y$ da $- 6 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $y$ da $9 y$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $y$ da $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 9)}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 3^{2})}$

Passaggio 1.1.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Passaggio 1.1.4.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}$

Passaggio 1.1.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 3$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Riduci l'espressione $\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.5.1

Scomponi $y - 3$ da $2 (2 y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{y {(y - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5.2

Scomponi $y - 3$ da $y {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Passaggio 1.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Passaggio 1.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (2 y - 3)}{y (y - 3)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $y (y - 3)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $2 (2 y - 3)$ per $1$ .

$2 (2 y - 3) = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.7

Moltiplica.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.8.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.8.1.2

Dividi $A (y - 3)$ per $1$ .

$4 y - 6 = A (y - 3) + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y - 6 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.8.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$4 y - 6 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.8.4

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

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Passaggio 1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 y - 6 = A y - 3 A + \frac{B (y (y - 3))}{y - 3}$

Passaggio 1.8.4.2

Dividi $(B) (y)$ per $1$ .

$4 y - 6 = A y - 3 A + (B) (y)$

$4 y - 6 = A y - 3 A + B y$

Passaggio 1.9

Sposta $- 3 A$ .

$4 y - 6 = A y + B y - 3 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 6 = - 3 A$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $- 6 = - 3 A$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = - 6$ .

$- 3 A = - 6$

$4 = A + B$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = - 6$ e semplifica.

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Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = - 6$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

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Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 3$ .

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $4 = A + B$ con $2$ .

$4 = (2) + B$

$A = 2$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $4 = 2 + B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 + B = 4$ .

$2 + B = 4$

$A = 2$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 4 - 2$

$A = 2$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

Passaggio 3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 2 A = 2$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 2, A = 2$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{2}{y} + \frac{2}{y - 3}$