Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} x & - 1 & - 4 \\ x & 5 & x \\ 9 & 0 & x^{2} \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$x | \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per $a_{21}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento $a_{21}$ per il suo cofattore.

$- x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per $a_{31}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento $a_{31}$ per il suo cofattore.

$9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

$x | \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} | - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x^{2} + 0 x) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$x (5 x^{2} + 0) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Somma $5 x^{2}$ e $0$ .

$x (5 x^{2}) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2} + 0 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $0$ per $- 4$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2} + 0) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 (- x - 5 \cdot - 4)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x \cdot x^{2} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 (x^{2} x^{1}) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{2 + 1} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 x^{3} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{3} + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$5 x^{3} + 1 x^{3} + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$5 x^{3} + x^{3} + 9 (- x + 20)$

Passaggio 5.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{3} + x^{3} + 9 (- x) + 9 \cdot 20$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$5 x^{3} + x^{3} - 9 x + 9 \cdot 20$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $9$ per $20$ .

$5 x^{3} + x^{3} - 9 x + 180$

Passaggio 5.2

Somma $5 x^{3}$ e $x^{3}$ .

$6 x^{3} - 9 x + 180$