Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} x & 0 & - 5 \\ 2 & x & x^{2} \\ - 5 & x & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $2$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 2 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per $a_{22}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} x & - 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento $a_{22}$ per il suo cofattore.

$x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per $a_{32}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento $a_{32}$ per il suo cofattore.

$- x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

$0 | \begin{array}{c} 2 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

$0 + x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ - 5 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} x & - 5 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + x (x \cdot 1 - (- 5 \cdot - 5)) - x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$0 + x (x - (- 5 \cdot - 5)) - x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot - 5)$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$0 + x (x - 1 \cdot 25) - x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$0 + x (x - 25) - x | \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} x & - 5 \\ 2 & x^{2} \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + x (x - 25) - x (x \cdot x^{2} - 2 \cdot - 5)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 + x (x - 25) - x (x^{1} x^{2} - 2 \cdot - 5)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 + x (x - 25) - x (x^{1 + 2} - 2 \cdot - 5)$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$0 + x (x - 25) - x (x^{3} - 2 \cdot - 5)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$0 + x (x - 25) - x (x^{3} + 10)$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Somma $0$ e $x (x - 25)$ .

$x (x - 25) - x (x^{3} + 10)$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 25 - x (x^{3} + 10)$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 25 - x (x^{3} + 10)$

Passaggio 5.2.3

Sposta $- 25$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 25 \cdot x - x (x^{3} + 10)$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 25 x - x \cdot x^{3} - x \cdot 10$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.5.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{2} - 25 x - (x^{3} x) - x \cdot 10$

Passaggio 5.2.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 25 x - (x^{3} x^{1}) - x \cdot 10$

Passaggio 5.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} - 25 x - x^{3 + 1} - x \cdot 10$

Passaggio 5.2.5.3

Somma $3$ e $1$ .

$x^{2} - 25 x - x^{4} - x \cdot 10$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$x^{2} - 25 x - x^{4} - 10 x$

Passaggio 5.3

Sottrai $10 x$ da $- 25 x$ .

$x^{2} - x^{4} - 35 x$