Algebra Esempi

$[\begin{array}{c} 0 & x & x \\ x & x^{2} & 5 \\ x & 4 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$ .

$0 - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - x (x \cdot - 3 - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$0 - x (- 3 \cdot x - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$0 - x (- 3 x - 5 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $5 x$ da $- 3 x$ .

$0 - x (- 8 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - x (- 8 x) + x (x \cdot 4 - x \cdot x^{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 \cdot x - x \cdot x^{2})$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x))$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x^{1}))$

Passaggio 4.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{2 + 1})$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Sottrai $x (- 8 x)$ da $0$ .

$- x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 \cdot - 8 x \cdot x + x (4 x - x^{3})$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.2.1

Sposta $x$ .

$- 1 \cdot - 8 (x \cdot x) + x (4 x - x^{3})$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 1 \cdot - 8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$8 x^{2} + x (4 x) + x (- x^{3})$

Passaggio 5.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x + x (- x^{3})$

Passaggio 5.2.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x - x \cdot x^{3}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1.1

Sposta $x$ .

$8 x^{2} + 4 (x \cdot x) - x \cdot x^{3}$

Passaggio 5.2.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x \cdot x^{3}$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x)$

Passaggio 5.2.7.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x^{1})$

Passaggio 5.2.7.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{3 + 1}$

Passaggio 5.2.7.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{4}$

Passaggio 5.3

Somma $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - x^{4}$