Algebra Esempi

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = a$ e $b = 1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Passaggio 1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Passaggio 2

Per scrivere $- \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(a - 1) (a^{2} + a + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ per $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)}$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori di $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{a^{2} - 5 - (a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1 \cdot 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.3

Espandi $(- a - 1) (a - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 - a (a - 1) - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.4.1.1.1

Sposta $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - (a \cdot a) - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $- a \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1 a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.1.3

Riscrivi $- 1 a$ come $- a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.2

Sottrai $a$ da $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 0 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.4.3

Somma $- a^{2}$ e $0$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.5

Sottrai $a^{2}$ da $a^{2}$ .

$\frac{0 - 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.6

Sottrai $5$ da $0$ .

$\frac{- 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 5.7

Somma $- 5$ e $1$ .

$\frac{- 4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$