Algebra Esempi

${(\sqrt{x - 5})}^{7}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\sqrt{x - 5})}^{7}$ come $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 5)}^{7}}]$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ come ${(x - 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.8

$\frac{7}{2}$ e ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.11

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + 0)$

Passaggio 1.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.12.2

Moltiplica $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{7}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.7.1

$\frac{5}{2}$ e ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ per $\frac{7}{2}$ .

$\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 2.7.3

Moltiplica.

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Passaggio 2.7.3.1

Moltiplica $7$ per $5$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 2.7.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + 0)$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \cdot 1$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$