Algebra Esempi

$f (x) = - 2 (x - 2) {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 1

Identifica il grado della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica e riordina il polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$(- 2 x + 4) {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 1.1.2

Usa il teorema binomiale.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Sposta $3^{2}$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3.2.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3})$

Passaggio 1.1.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$

Passaggio 1.1.4

Espandi $(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 2 (x^{3} x) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{3 + 1} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{2 + 1} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x \cdot x - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1.6.1

Sposta $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 (x \cdot x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.7

Moltiplica $- 2$ per $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.8

Moltiplica $27$ per $- 2$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.9

Moltiplica $9$ per $4$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.10

Moltiplica $27$ per $4$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 4 \cdot 27$

Passaggio 1.1.5.1.11

Moltiplica $4$ per $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Somma $- 18 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 36 x^{2} + 108 x + 108$

Passaggio 1.1.5.2.2

Somma $- 54 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 108 x + 108$

Passaggio 1.1.5.2.3

Somma $- 54 x$ e $108 x$ .

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x + 108$

Passaggio 1.2

L'esponente maggiore è il grado del polinomio.

$4$

Passaggio 2

Poiché il grado è pari, le estremità della funzione saranno dirette nella stessa direzione.

Pari

Passaggio 3

Identifica il coefficiente direttivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il polinomio, quindi riordinalo da sinistra a destra iniziando dal termine di grado maggiore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$(- 2 x + 4) {(x + 3)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Usa il teorema binomiale.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.1

Sposta $3^{2}$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3.2.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3})$

Passaggio 3.1.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$

Passaggio 3.1.4

Espandi $(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 2 (x^{3} x) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{3 + 1} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{2 + 1} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x \cdot x - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1.6.1

Sposta $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 (x \cdot x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.7

Moltiplica $- 2$ per $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.8

Moltiplica $27$ per $- 2$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.9

Moltiplica $9$ per $4$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.10

Moltiplica $27$ per $4$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 4 \cdot 27$

Passaggio 3.1.5.1.11

Moltiplica $4$ per $27$ .

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108$

Passaggio 3.1.5.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.2.1

Somma $- 18 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 36 x^{2} + 108 x + 108$

Passaggio 3.1.5.2.2

Somma $- 54 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 108 x + 108$

Passaggio 3.1.5.2.3

Somma $- 54 x$ e $108 x$ .

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x + 108$

Passaggio 3.2

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$- 2 x^{4}$

Passaggio 3.3

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$- 2$

Passaggio 4

Poiché il coefficiente direttivoè negativo, il grafico scende verso destra.

Negativo

Passaggio 5

Utilizza il grado della funzione e il segno del coefficiente direttivo per determinare il comportamento.

1. Pari e positivo: sale verso sinistra e verso destra.

2. Pari e negativo: scende verso sinistra e verso destra.

3. Dispari e positivo: scende verso sinistra e sale verso destra.

4. Dispari e negativo: sale verso sinistra e scende verso destra.

Passaggio 6

Determina il comportamento.

Scende verso sinistra e verso destra

Passaggio 7