Algebra Esempi

$3 x - 2 y + 3 z = 5$ , $3 x + 2 y + 4 z = - 4$ , $- 5 x + 5 y - 4 z = - 2$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova il determinante della matrice del coefficiente $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ in notazione del determinante.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 2.2.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.2.9

Somma i termini.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$3 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$3 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $20$ da $- 8$ .

$3 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $- 12$ e $20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - - 10)$

Passaggio 2.5.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 + 10)$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $15$ e $10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Passaggio 2.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $3$ per $- 28$ .

$- 84 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$- 84 + 16 + 3 \cdot 25$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $3$ per $25$ .

$- 84 + 16 + 75$

Passaggio 2.6.2

Somma $- 84$ e $16$ .

$- 68 + 75$

Passaggio 2.6.3

Somma $- 68$ e $75$ .

$7$

$D = 7$

Passaggio 3

Poiché il determinante non è $0$ , il sistema può essere risolto usando la Regola di Cramer.

Passaggio 4

Trova il valore di $x$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la colonna $1$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 & 3 \\ - 4 & 2 & 4 \\ - 2 & 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 4.2.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.9

Somma i termini.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$5 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$5 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $20$ da $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - - 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 + 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $16$ e $8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Passaggio 4.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 4 \cdot 5 - (- 2 \cdot 2))$

Passaggio 4.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - (- 2 \cdot 2))$

Passaggio 4.2.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - - 4)$

Passaggio 4.2.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 + 4)$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma $- 20$ e $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Moltiplica $5$ per $- 28$ .

$- 140 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Passaggio 4.2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $24$ .

$- 140 + 48 + 3 \cdot - 16$

Passaggio 4.2.5.1.3

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$- 140 + 48 - 48$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $- 140$ e $48$ .

$- 92 - 48$

Passaggio 4.2.5.3

Sottrai $48$ da $- 92$ .

$- 140$

$D_{x} = - 140$

Passaggio 4.3

Usa la formula per risolvere per $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Nella formula, sostituisci $7$ a $D$ e $- 140$ a $D_{x}$ .

$x = \frac{- 140}{7}$

Passaggio 4.5

Dividi $- 140$ per $7$ .

$x = - 20$

Passaggio 5

Trova il valore di $y$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la colonna $2$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 5 & 3 \\ 3 & - 4 & 4 \\ - 5 & - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 5.2.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.9

Somma i termini.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$3 (16 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 2 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$3 (16 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$3 (16 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2

Somma $16$ e $8$ .

$3 \cdot 24 - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 24 - 5 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma $- 12$ e $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4))$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - (- 5 \cdot - 4))$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 1 \cdot 20)$

Passaggio 5.2.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 20)$

Passaggio 5.2.4.2.2

Sottrai $20$ da $- 6$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Moltiplica $3$ per $24$ .

$72 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Passaggio 5.2.5.1.2

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$72 - 40 + 3 \cdot - 26$

Passaggio 5.2.5.1.3

Moltiplica $3$ per $- 26$ .

$72 - 40 - 78$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $40$ da $72$ .

$32 - 78$

Passaggio 5.2.5.3

Sottrai $78$ da $32$ .

$- 46$

$D_{y} = - 46$

Passaggio 5.3

Usa la formula per risolvere per $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Nella formula, sostituisci $7$ a $D$ e $- 46$ a $D_{y}$ .

$y = \frac{- 46}{7}$

Passaggio 5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{46}{7}$

Passaggio 6

Trova il valore di $z$ mediante il metodo di Cramer, che afferma che $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la colonna $3$ della matrice di coefficiente che corrisponde ai coefficienti $z$ del sistema con $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 5 \\ 3 & 2 & - 4 \\ - 5 & 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 6.2.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.9

Somma i termini.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot - 2 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 (- 4 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$3 (- 4 + 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma $- 4$ e $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 16 + 2 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 1 \cdot 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.2

Sottrai $20$ da $- 6$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Passaggio 6.2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Passaggio 6.2.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 5 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - - 10)$

Passaggio 6.2.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 + 10)$

Passaggio 6.2.4.2.2

Somma $15$ e $10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Moltiplica $3$ per $16$ .

$48 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $- 26$ .

$48 - 52 + 5 \cdot 25$

Passaggio 6.2.5.1.3

Moltiplica $5$ per $25$ .

$48 - 52 + 125$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $52$ da $48$ .

$- 4 + 125$

Passaggio 6.2.5.3

Somma $- 4$ e $125$ .

$121$

$D_{z} = 121$

Passaggio 6.3

Usa la formula per risolvere per $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Passaggio 6.4

Nella formula, sostituisci $7$ a $D$ e $121$ a $D_{z}$ .

$z = \frac{121}{7}$

Passaggio 7

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = - 20$

$y = - \frac{46}{7}$

$z = \frac{121}{7}$