Algebra Esempi

$y = 2 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 x^{3} - 6 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 6 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$6 x^{2} - 12 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 12 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 12$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 6 (2 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 12 x$ .

$6 x^{2} - 12 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 12 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $6 x$ da $6 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{2}$ .

$6 x (x) - 12 x = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $6 x$ da $- 12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (- 2) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (x) + 6 x (- 2)$ .

$6 x (x - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (0) - 12$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 12$

Passaggio 10.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$- 12$

Passaggio 11

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 6 {(0)}^{2}$

Passaggio 12.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 6 \cdot 0$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (2) - 12$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$24 - 12$

Passaggio 14.2

Sottrai $12$ da $24$ .

$12$

Passaggio 15

$x = 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2}$

Passaggio 16.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 6 {(2)}^{2}$

Passaggio 16.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 6 {(2)}^{2}$

Passaggio 16.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 16 - 6 {(2)}^{2}$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 16 - 6 \cdot 4$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 24$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $24$ da $16$ .

$f (2) = - 8$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(2, - 8)$ è un minimo locale

Passaggio 18