Algebra Esempi

${(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{t - 3}$ .

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

$2$ e $\frac{1}{t - 3}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{t - 3}$ come ${(t - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t - 3$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t - 3$ .

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

$\frac{2}{t - 3}$ e ${(t - 3)}^{- 2}$ .

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 4.2

Sposta ${(t - 3)}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 5

Moltiplica $t - 3$ per ${(t - 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $t - 3$ per ${(t - 3)}^{2}$ .

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Passaggio 5.1.1

Eleva $t - 3$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 5.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

Passaggio 8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$