Algebra Esempi

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) = \cot^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\cot^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\csc^{2} (x) - 1 - \tan^{2} (x)$

Passaggio 3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\csc^{2} (x) - 1^{2} - \tan^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \csc (x)$ e $b = 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1) - \tan^{2} (x)$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1) - (\sec^{2} (x) - 1)$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\csc (x) - 1) - (\sec^{2} (x) - 1)$

Passaggio 5.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\sec^{2} (x) - 1)$

Passaggio 5.3

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Espandi $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 1}{\sin (x)} + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\sin (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.3.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.5

Per scrivere $\frac{1}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\sin (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.6.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.6.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.9

$- 1$ e $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.3.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1)$

Passaggio 6.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - - 1$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.2

Per scrivere $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.3

Per scrivere $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Espandi $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.1.2

Moltiplica $- \sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.1.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.1.4

Moltiplica $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.2

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + 0 - {\sin (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(1 - {\sin (x)}^{2}) {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.6.4

Moltiplica ${\cos (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Passaggio 6.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 6.9

Semplifica il numeratore.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Ora considera il lato sinistro dell'equazione.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Passaggio 8

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Passaggio 8.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 8.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 8.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10

Sottrai le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per scrivere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 10.2

Per scrivere $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 10.3.3

Riordina i fattori di $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 10.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 11

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 12

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) = \cot^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ è un'identità